1. 本題要在兩個約束條件下，尋找距離原點的極值點。
   • 目標函數：最小化與最大化距離平方 $f(x, y, z) = x^2 + y^2 + z^2$。
   • 第一個約束（平面）： $g(x,y,z) = x + 2y + z - 2 = 0$。
   • 第二個約束（拋物面，題目誤印為 cone）： $h(x,y,z) = x^2 - y + z^2 = 0$。
2. 第一步：利用偏導共面關係建立方程：
   • 三個梯度向量：
     • $\nabla f = \langle 2x, 2y, 2z \rangle$
     • $\nabla g = \langle 1, 2, 1 \rangle$
     • $\nabla h = \langle 2x, -1, 2z \rangle$
   • 根據拉格朗日乘子法，極值點處三個向量必須線性相關（共面），即行列式為零： $\det \begin{pmatrix} x & y & z \\ 1 & 2 & 1 \\ 2x & -1 & 2z \end{pmatrix} = 0 \implies (x-z)(1+2y) = 0$
3. 第二步：分情況討論求解：
   • 情況一： $x = z$：
     • 代入 $g(x,y,z) = 0 \implies 2x + 2y = 2 \implies y = 1-x$。
     • 代入 $h(x,y,z) = 0 \implies 2x^2 = y \implies 2x^2 + x - 1 = 0 \implies (2x-1)(x+1) = 0$。
     • 子情況 A： $x = 1/2 \implies z = 1/2, y = 1/2$。點為 $\left( \frac{1}{2}, \frac{1}{2}, \frac{1}{2} \right)$。距離平方 $f = 3/4$。
     • 子情況 B： $x = -1 \implies z = -1, y = 2$。點為 $(-1, 2, -1)$。距離平方 $f = 6$。
   • 情況二： $y = -1/2$：
     • 代入拋物面方程 $x^2 + z^2 = y = -1/2$。
     • 由於 $x, z$ 均為實數，其平方和 $x^2+z^2 \ge 0$，不可能等於負數 $-1/2$。因此在此分支下無實數解。
4. 第三步：比較距離平方值，確定最近點與最遠點：
   • 最近點為 $\left( \frac{1}{2}, \frac{1}{2}, \frac{1}{2} \right)$，距離為 $\frac{\sqrt{3}}{2}$。
   • 最遠點為 $(-1, 2, -1)$，距離為 $\sqrt{6}$。

我們需要在雙約束條件下，求目標函數（與原點的距離平方）的極值：

• 目標函數： $$f(x, y, z) = x^2 + y^2 + z^2$$
• 約束條件一： $$g(x, y, z) = x + 2y + z - 2 = 0$$
• 約束條件二： $$h(x, y, z) = x^2 - y + z^2 = 0$$

根據拉格朗日乘子法，最優解滿足偏導數的線性相關性，即三個梯度向量 $\nabla f$、 $\nabla g$、 $\nabla h$ 必須共面（線性相關）：

我們令其行列式（將第一行同除以 2）為零：

對第一行進行拉普拉斯展開：

由此，我們分成兩個分支討論：

情況一： $x = z$

我們將 $x = z$ 代入兩個約束條件中：

1. 代回平面方程 $g = 0$： $$x + 2y + x = 2 \implies 2x + 2y = 2 \implies y = 1 - x$$
2. 代回拋物面方程 $h = 0$： $$x^2 - y + x^2 = 0 \implies 2x^2 = y$$

聯立此兩式：

得到兩個解：

• 子情況 A： $x = \frac{1}{2}$

  • 此時 $z = \frac{1}{2}$， $y = 1 - \frac{1}{2} = \frac{1}{2}$。
  • 得到點： $\displaystyle \left( \frac{1}{2},\, \frac{1}{2},\, \frac{1}{2} \right)$。
  • 距離平方值為： $\displaystyle f\left(\frac{1}{2},\, \frac{1}{2},\, \frac{1}{2}\right) = \frac{1}{4} + \frac{1}{4} + \frac{1}{4} = \frac{3}{4}$。

• 子情況 B： $x = -1$

  • 此時 $z = -1$， $y = 1 - (-1) = 2$。
  • 得到點： $(-1,\, 2,\, -1)$。
  • 距離平方值為： $f(-1,\, 2,\, -1) = (-1)^2 + 2^2 + (-1)^2 = 1 + 4 + 1 = 6$。

情況二： $y = -\frac{1}{2}$

我們將 $y = -\frac{1}{2}$ 代入拋物面方程 $h = 0$：

由於在實數域中，任何實數的平方和皆為非負數（即 $x^2 + z^2 \ge 0$），不可能等於負數 $-\frac{1}{2}$。 故此分支無實數解。

結論

比較兩個可行點的距離平方值：

• 離原點的最近距離為 $\sqrt{\frac{3}{4}} = \frac{\sqrt{3}}{2}$，對應的點為 $\displaystyle \left( \frac{1}{2},\, \frac{1}{2},\, \frac{1}{2} \right)$。
• 離原點的最遠距離為 $\sqrt{6}$，對應的點為 $(-1,\, 2,\, -1)$。

結論：

• 最遠點為 $(-1, 2, -1)$。
• 最近點為 $\displaystyle \left( \frac{1}{2},\, \frac{1}{2},\, \frac{1}{2} \right)$。