題目

8. Find the area of the surface

z=xy,\ x^2+y^2\le 1

解答

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曲面 $z=f(x,y)$ 的面積元素為 $\sqrt{1+f_x^2+f_y^2}\,\mathrm{d}A$ 。本題積分區域是單位圓盤，改用極座標即可直接積分。

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令 $f(x,y)=xy$ ，則

f_x=y,\qquad f_y=x.

所以曲面面積為

\begin{align*} S =&\,\iint_{x^2+y^2\le1}\sqrt{1+x^2+y^2}\,\mathrm{d}A\\[4mm] =&\,\int_0^{2\pi}\int_0^1\sqrt{1+r^2}\,r\,\mathrm{d}r\,\mathrm{d}\theta\\[4mm] =&\,2\pi\Big[\frac13(1+r^2)^{3/2}\Big]_0^1\\[4mm] =&\,\frac{2\pi}{3}(2\sqrt2-1). \end{align*}

故所求面積為 $\boxed{\frac{2\pi}{3}(2\sqrt2-1)}$ 。