題目

f(x)=1/(x^2-x-2)=

Taylor series

=\sum a_nx^n,\ a_n=?

解答

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先做部分分式分解，再把每一項改成幾何級數。最後讀出 $x^n$ 的係數即可。

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\begin{align*} \frac1{x^2-x-2} =&\,\frac1{(x-2)(x+1)}\\[4mm] =&\,\frac13\Big(\frac1{x-2}-\frac1{x+1}\Big). \end{align*}

在 $|x|<1$ 時，

\begin{align*} \frac1{x-2} =&\,-\frac12\cdot\frac1{1-x/2} =-\sum_{n=0}^\infty\frac{x^n}{2^{n+1}},\\[4mm] \frac1{x+1} =&\,\frac1{1-(-x)} =\sum_{n=0}^\infty(-1)^n x^n. \end{align*}

故

\frac1{x^2-x-2} =\sum_{n=0}^\infty \Big(-\frac1{3\cdot2^{n+1}}-\frac{(-1)^n}{3}\Big)x^n.

所以

\boxed{a_n=-\frac1{3\cdot2^{n+1}}-\frac{(-1)^n}{3}}.