題目

3. The probability density function of an exponential distribution is

f(x)=3e^{-3x}

x\ge 0

f(x)=0

x<0

. Find the expected value

E(x)=?

解答

展開

期望值由 $E(X)=\int_{-\infty}^{\infty}x f(x)\,\mathrm{d}x$ 定義。密度函數在負半軸為零，因此只需積分 $[0,\infty)$ 。

展開

\begin{align*} E(X) =&\,\int_0^\infty 3xe^{-3x}\,\mathrm{d}x\\[4mm] =&\,\Big[-xe^{-3x}\Big]_0^\infty +\int_0^\infty e^{-3x}\,\mathrm{d}x\\[4mm] =&\,0+\frac13. \end{align*}

故期望值為 $\boxed{\frac13}$ 。