令 $s=x+y$、$p=xy$，把三次式改寫為 $s,p$ 的關係。再利用 $x,y$ 為實數時二次方程的判別式必須非負，便可限制 $s$ 的範圍。

由 $x^3+y^3=(x+y)^3-3xy(x+y)$，原式給出

而 $x,y$ 是方程 $t^2-st+p=0$ 的兩個實根，所以

若 $s<0$，上式不可能非負；所以 $s\ge0$。此時分母為正，故必有 $s\le3$。

當 $s=3$ 時，取 $x=y=\frac32$，確實滿足原式，因此上界可以達到。

所以 $x+y$ 的最大值為 $\boxed{3}$。