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108 台灣大學微積分(B) 第 5 題

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108學年度 · 108台大微積分B · 第 5 題

題目

Problem

PART 1: Fill in the blanks.

  • Work need not be shown, only answers will be graded.

  • 4 points for each blank and 100 points total.

  • Each answer need to be clearly labeled on the answer sheet.

  • Use of any device with computer algebra system during the exam will result in zero points.

  1. Calculate the following integrals:

  • ∫02x3(x2+4)3 dx=(6)‾\displaystyle\int_{0}^{2}\frac{x^3}{(x^2+4)^3}\,dx=\underline{\quad(6)\quad}.
  • ∫0ln⁡2ex−1 dx=(7)‾\displaystyle\int_{0}^{\ln 2}\sqrt{e^x-1}\,dx=\underline{\quad(7)\quad}. (Hint: Use u=ex−1u=\sqrt{e^x-1}.)
  • ∫13x−2x2−1 dx=(8)‾\displaystyle\int_{1}^{3}\frac{x-2}{\sqrt{x^2-1}}\,dx=\underline{\quad(8)\quad}.

解答

解法一

思路

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三小題依序以代換、題給代換和反三角函數原始函數處理。

答題過程

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(6) 令 u=x2+4u=x^2+4，則

∫02x3(x2+4)3 dx=12∫48u−4u3 du=164.\int_0^2\frac{x^3}{(x^2+4)^3}\,\mathrm{d}x =\frac12\int_4^8\frac{u-4}{u^3}\,\mathrm{d}u =\boxed{\frac1{64}}.

(7) 依提示令 u=ex−1u=\sqrt{e^x-1}，則 dx=2u1+u2 du\mathrm{d}x=\frac{2u}{1+u^2}\,\mathrm{d}u，上下限為 0,10,1：

∫012u21+u2 du=2−π2.\int_0^1\frac{2u^2}{1+u^2}\,\mathrm{d}u =\boxed{2-\frac\pi2}.

(8) 分開積分：

∫13x−2x2−1 dx= [x2−1−2ln⁡(x+x2−1)]13= 22−2ln⁡(3+22).\begin{align*} \int_1^3\frac{x-2}{\sqrt{x^2-1}}\,\mathrm{d}x =&\,\Big[\sqrt{x^2-1}-2\ln\big(x+\sqrt{x^2-1}\big)\Big]_1^3\\[4mm] =&\,\boxed{2\sqrt2-2\ln(3+2\sqrt2)}. \end{align*}