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108 台灣大學微積分(B) 第 4 題

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108學年度 · 108台大微積分B · 第 4 題

題目

Problem

PART 1: Fill in the blanks.

  • Work need not be shown, only answers will be graded.

  • 4 points for each blank and 100 points total.

  • Each answer need to be clearly labeled on the answer sheet.

  • Use of any device with computer algebra system during the exam will result in zero points.

  1. If ∫12x+1f(t)et dt=tan⁡−1x\displaystyle\int_{1}^{2x+1}\frac{f(t)}{e^t}\,dt=\tan^{-1}x, then f(3)=(5)‾f(3)=\underline{\quad(5)\quad}.

解答

解法一

思路

展開

變上限積分求導後，再把使上限等於 33 的 xx 代入。

答題過程

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由微積分基本定理與連鎖規則，

2f(2x+1)e2x+1=11+x2.\frac{2f(2x+1)}{e^{2x+1}}=\frac1{1+x^2}.

令 x=1x=1，便有 2f(3)/e3=1/22f(3)/e^3=1/2，故

f(3)=e34.\boxed{f(3)=\frac{e^3}{4}}.