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108 台灣大學微積分(B) 第 2 題

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108學年度 · 108台大微積分B · 第 2 題

題目

Problem

PART 1: Fill in the blanks.

  • Work need not be shown, only answers will be graded.

  • 4 points for each blank and 100 points total.

  • Each answer need to be clearly labeled on the answer sheet.

  • Use of any device with computer algebra system during the exam will result in zero points.

  1. The graph of f(x)=(x+1)2/3(x−2)1/3f(x)=(x+1)^{2/3}(x-2)^{1/3} has an inflection point at x=(3)‾x=\underline{\quad(3)\quad}.

解答

解法一

思路

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反曲點要看二階導數的正負是否改變，而不只找二階導數為零的位置。

答題過程

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先求導並整理：

f′(x)=x−1(x+1)1/3(x−2)2/3,f′′(x)=−2(x+1)4/3(x−2)5/3.f'(x)=\frac{x-1}{(x+1)^{1/3}(x-2)^{2/3}}, \qquad f''(x)=-\frac2{(x+1)^{4/3}(x-2)^{5/3}}.

(x+1)4/3(x+1)^{4/3} 除了 x=−1x=-1 外恆正，故 f′′f'' 在 x<2x<2 為正、在 x>2x>2 為負；凹凸性在 x=2x=2 改變。

所以反曲點的 xx 座標為 2\boxed{2}。