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108 台灣大學微積分(B) 第 18 題

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108學年度 · 108台大微積分B · 第 18 題

題目

Problem

PART 1: Fill in the blanks.

  • Work need not be shown, only answers will be graded.

  • 4 points for each blank and 100 points total.

  • Each answer need to be clearly labeled on the answer sheet.

  • Use of any device with computer algebra system during the exam will result in zero points.

  1. Let F⃗(x,y,z)=(sin⁡y,xcos⁡y+cos⁡z,−ysin⁡z),C:r⃗(t)=(sin⁡t,cos⁡t,2t),0≤t≤π\vec{F}(x,y,z)=(\sin y,x\cos y+\cos z,-y\sin z),C:\vec{r}(t)=(\sin t,\cos t,2t),0\le t\le \pi.

∫CF⃗⋅dr⃗=(23)‾\displaystyle\int_C \vec{F}\cdot d\vec{r}=\underline{\quad(23)\quad}.

解答

解法一

思路

展開

先辨認向量場為保守場，便可只比較路徑端點的勢能。

答題過程

展開

此向量場是保守場，勢函數可取

ϕ(x,y,z)=xsin⁡y+ycos⁡z.\phi(x,y,z)=x\sin y+y\cos z.

路徑端點為 r⃗(0)=(0,1,0)\vec r(0)=(0,1,0) 與 r⃗(π)=(0,−1,2π)\vec r(\pi)=(0,-1,2\pi)，因此

∫CF⃗⋅dr⃗=ϕ(0,−1,2π)−ϕ(0,1,0)=−1−1=−2.\int_C\vec F\cdot\mathrm{d}\vec r =\phi(0,-1,2\pi)-\phi(0,1,0) =-1-1=\boxed{-2}.