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108 台灣大學微積分(B) 第 10 題

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108學年度 · 108台大微積分B · 第 10 題

題目

Problem

PART 1: Fill in the blanks.

  • Work need not be shown, only answers will be graded.

  • 4 points for each blank and 100 points total.

  • Each answer need to be clearly labeled on the answer sheet.

  • Use of any device with computer algebra system during the exam will result in zero points.

  1. Find the sum

  • ∑n=2∞(n−2)!+2nn!=(13)‾\displaystyle\sum_{n=2}^{\infty}\frac{(n-2)!+2^n}{n!}=\underline{\quad(13)\quad}.
  • ∑n=1∞12n−1(13)2n=(14)‾\displaystyle\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{2n-1}\left(\frac{1}{\sqrt{3}}\right)^{2n}=\underline{\quad(14)\quad}.

解答

解法一

思路

展開

第一小題拆成望遠鏡級數與指數級數；第二小題比對反雙曲正切的冪級數。

答題過程

展開

(13)

∑n=2∞(n−2)!+2nn!=∑n=2∞1n(n−1)+∑n=2∞2nn!=1+(e2−3)=e2−2.\sum_{n=2}^\infty\frac{(n-2)!+2^n}{n!} =\sum_{n=2}^\infty\frac1{n(n-1)} +\sum_{n=2}^\infty\frac{2^n}{n!} =1+(e^2-3)=\boxed{e^2-2}.

(14) 令 u=1/3u=1/\sqrt3。利用

tanh⁡−1u=∑n=1∞u2n−12n−1,\tanh^{-1}u=\sum_{n=1}^\infty\frac{u^{2n-1}}{2n-1},

可得

∑n=1∞12n−1(13)2n= 13tanh⁡−1(13)= ln⁡(2+3)23.\begin{align*} \sum_{n=1}^\infty\frac1{2n-1}\Big(\frac1{\sqrt3}\Big)^{2n} =&\,\frac1{\sqrt3}\tanh^{-1}\Big(\frac1{\sqrt3}\Big)\\[4mm] =&\,\boxed{\frac{\ln(2+\sqrt3)}{2\sqrt3}}. \end{align*}