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107 台灣大學微積分(C) 第 8 題

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107學年度 · 107台大微積分C · 第 8 題

題目

8. Find the volume determined by x2+y2+z2≤1x^2+y^2+z^2\le 1 and x2+y2≤yx^2+y^2\le y.

解答

解法一

思路

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第一個不等式給出單位球，第二個在 xyxy 平面給出圓柱。改用圓柱座標，先由圓柱決定底面，再用球面給出 zz 的上下界。

答題過程

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令 x=rcos⁡θx=r\cos\theta、y=rsin⁡θy=r\sin\theta。條件 x2+y2≤yx^2+y^2\le y 化為

r2≤rsin⁡θ,r^2\le r\sin\theta,

所以

0≤θ≤π,0≤r≤sin⁡θ.0\le\theta\le\pi,\qquad0\le r\le\sin\theta.

在單位球內，

−1−r2≤z≤1−r2.-\sqrt{1-r^2}\le z\le\sqrt{1-r^2}.

體積為

V= ∫0π∫0sin⁡θ∫−1−r21−r2r dz dr dθ= 23∫0π(1−∣cos⁡θ∣3) dθ= 23(π−43).\begin{align*} V =&\,\int_0^\pi\int_0^{\sin\theta}\int_{-\sqrt{1-r^2}}^{\sqrt{1-r^2}} r\,\mathrm{d}z\,\mathrm{d}r\,\mathrm{d}\theta\\[4mm] =&\,\frac23\int_0^\pi\left(1-|\cos\theta|^3\right)\,\mathrm{d}\theta\\[4mm] =&\,\frac23\left(\pi-\frac43\right). \end{align*}

故所求體積為

2π3−89.\boxed{\frac{2\pi}{3}-\frac89}.