題目 Problem limx→−∞(3x+9x2−x)=?\displaystyle\lim_{x\to -\infty}\left(3x+\sqrt{9x^2-x}\right)=?x→−∞lim(3x+9x2−x)=? 解答 解法一 思路 展開 根式和一次項會相消，先乘共軛式。特別注意 x→−∞x\to-\inftyx→−∞ 時，9x2=∣3x∣=−3x\sqrt{9x^2}=|3x|=-3x9x2=∣3x∣=−3x。 答題過程 展開 乘上共軛式後， 3x+9x2−x= (9x2−x)−9x29x2−x−3x= −x9x2−x−3x.\begin{align*} 3x+\sqrt{9x^2-x} =&\,\frac{(9x^2-x)-9x^2}{\sqrt{9x^2-x}-3x}\\[4mm] =&\,\frac{-x}{\sqrt{9x^2-x}-3x}. \end{align*}3x+9x2−x==9x2−x−3x(9x2−x)−9x29x2−x−3x−x. 分子、分母同除以 xxx。由於 x<0x<0x<0， 9x2−xx=−9−1x.\frac{\sqrt{9x^2-x}}{x}=-\sqrt{9-\frac1x}.x9x2−x=−9−x1. 因此 limx→−∞−1−9−1x−3=16.\lim_{x\to-\infty}\frac{-1}{-\sqrt{9-\frac1x}-3} =\boxed{\frac16}.x→−∞lim−9−x1−3−1=61.
