題目

Problem

Part II Fill in the blanks

The third term of the Maclaurin series (i.e. the Taylor series centred at $x=0$ ) of $\arcsin(3x)$ is $\underline{\quad(11)\quad}$ (note that the answer should be a monomial in $x$ ; the term of $x^0$ is counted as the 0-th term). The radius of convergence of the series is $\underline{\quad(12)\quad}$ .

解答

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由熟知的 $\arcsin t$ 麥克勞林級數代入 $t=3x$ 。收斂半徑則由 $|3x|<1$ 立即判斷。

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基本展開為

\arcsin t=t+\frac{t^3}{6}+\frac{3t^5}{40}+\cdots.

令 $t=3x$ ，且題目把 $x^0$ 項視為第 $0$ 項，故第 $3$ 項是 $x^3$ 項：

\arcsin(3x)=3x+\frac{(3x)^3}{6}+\cdots =3x+\frac92x^3+\cdots.

因此第 (11) 空為 $\boxed{\frac92x^3}$ 。

又此級數要求 $|3x|<1$ ，所以收斂半徑為第 (12) 空的

\boxed{\frac13}.