題目

Problem

Part I Multiple Choice

(A) $f(x,y)$ is not continuous at $(0,0)$ .

(B) $f(x,y)$ is continuous at $(0,0)$ , but partial derivatives $f_x(0,0)$ and $f_y(0,0)$ do not exist.

(D) $f(x,y)$ is differentiable at $(0,0)$ .

解答

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因為

0\le\sqrt{|xy|}\le\frac{|x|+|y|}{2}\longrightarrow0

當 $(x,y)\to(0,0)$ ，所以 $f$ 在原點連續。

偏導數按定義為

f_x(0,0)=\lim_{h\to0}\frac{f(h,0)-f(0,0)}h=0, \qquad f_y(0,0)=0.

若 $f$ 在原點可微，且兩偏導都為 $0$ ，則應有

\frac{f(x,y)}{\sqrt{x^2+y^2}}\longrightarrow0.

但沿 $y=x$ ，

\frac{f(x,x)}{\sqrt{x^2+x^2}} =&\,\frac{|x|}{\sqrt2|x|}=\frac1{\sqrt2},

並未趨於 $0$ 。故 $f$ 不可微，正確選項為 $\boxed{\text{C}}$ 。