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106 台灣大學微積分(B) 第 19 題

考題 / 轉學考微積分 / 台灣大學 / 微積分B

106學年度 · 106台大微積分B · 第 19 題

題目

Problem

Part III Solve the following problems

  1. Suppose that f(t)f(t) is a continuous function on [0,∞)[0,\infty) satisfying
f(t)=eπt2+∬x2+y2≤t2f(x2+y2) dA.f(t)=e^{\pi t^2}+\iint_{x^2+y^2\le t^2}f\left(\sqrt{x^2+y^2}\right)\,\mathrm{d}A.

Find f(t)f(t).

解答

解法一

思路

展開
  • 被積函數只依賴半徑，積分區域是半徑 tt 的圓盤，先改用極座標。
  • 得到含變上限積分的方程後微分，最後用積分因子解一階線性微分方程。

答題過程

展開

在極座標 x=rcos⁡θx=r\cos\theta、y=rsin⁡θy=r\sin\theta 下，dA=r dr dθ\mathrm{d}A=r\,\mathrm{d}r\,\mathrm{d}\theta，所以

f(t)=eπt2+2π∫0trf(r) dr.f(t)=e^{\pi t^2}+2\pi\int_0^t rf(r)\,\mathrm{d}r.

對 tt 微分（ff 連續，故可用微積分基本定理），得

f′(t)=2πteπt2+2πtf(t).f'(t)=2\pi t e^{\pi t^2}+2\pi t f(t).

移項後是線性方程

f′(t)−2πtf(t)=2πteπt2.f'(t)-2\pi t f(t)=2\pi t e^{\pi t^2}.

其積分因子為 e−πt2e^{-\pi t^2}。令 g(t)=e−πt2f(t)g(t)=e^{-\pi t^2}f(t)，則

g′(t)=2πt.g'(t)=2\pi t.

又原式代 t=0t=0 得 f(0)=1f(0)=1，故 g(0)=1g(0)=1，因此

g(t)=1+πt2.g(t)=1+\pi t^2.

所以

f(t)=(1+πt2)eπt2.\boxed{f(t)=(1+\pi t^2)e^{\pi t^2}}.