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106 台灣大學微積分(B) 第 16 題

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106學年度 · 106台大微積分B · 第 16 題

題目

Problem

Part II Answer the following questions

  1. Reverse the order of the iterated integral ∫0π∫sin⁡x1f(x,y) dy dx:(16)‾\int_0^\pi\int_{\sin x}^1f(x,y)\,\mathrm{d}y\,\mathrm{d}x:\underline{\quad(16)\quad}.

解答

解法一

思路

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  • 原積分區域在 0≤x≤π0\le x\le\pi 且 sin⁡x≤y≤1\sin x\le y\le1。
  • 固定 yy 後，解不等式 sin⁡x≤y\sin x\le y；因正弦函數先升後降，xx 會分成左右兩段。

答題過程

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積分區域可寫為

R={(x,y):0≤x≤π, sin⁡x≤y≤1}.R=\big\{(x,y):0\le x\le\pi,\ \sin x\le y\le1\big\}.

其 yy 範圍為 0≤y≤10\le y\le1。固定此範圍的 yy，令 α=sin⁡−1y\alpha=\sin^{-1}y，其中 0≤α≤π/20\le\alpha\le\pi/2。在 [0,π][0,\pi] 上，sin⁡x≤y\sin x\le y 等價於

0≤x≤α或π−α≤x≤π.0\le x\le\alpha \quad\text{或}\quad \pi-\alpha\le x\le\pi.

故反轉積分次序後為

∫01(∫0sin⁡−1yf(x,y) dx+∫π−sin⁡−1yπf(x,y) dx)dy.\boxed{ \int_0^1\left( \int_0^{\sin^{-1}y}f(x,y)\,\mathrm{d}x +\int_{\pi-\sin^{-1}y}^{\pi}f(x,y)\,\mathrm{d}x \right)\mathrm{d}y}.