題目

6. Let

R

be the region enclosed by

y=x

y=x-2

y=1

and

y=0

(a) $(10\%)$ Let $A$ be the area of $R$ . $A=\underline{\quad(9)\quad}$ .

(b) $(5\%)$ The double integral $\iint_R \sqrt{x-y}\,\mathrm{d}x\mathrm{d}y=\underline{\quad(10)\quad}$ .

解答

展開

展開

由 $y=x$ 與 $y=x-2$ 分別改寫成 $x=y$ 、 $x=y+2$ ，故

R=\{(x,y)\mid 0\le y\le1,\ y\le x\le y+2\}.

(a) 面積

每一水平截線的寬度為 $(y+2)-y=2$ ，所以

A=\int_0^1 2\,\mathrm{d}y=\boxed{2}.

(b) 二重積分

以 $u=x-y$ 看被積分函數，內層的上下限恰好使 $u$ 從 $0$ 到 $2$ ：

\begin{align*} \iint_R\sqrt{x-y}\,\mathrm{d}x\mathrm{d}y =&\,\int_0^1\int_y^{y+2}\sqrt{x-y}\,\mathrm{d}x\,\mathrm{d}y\\[4mm] =&\,\int_0^1\left[\frac23(x-y)^{3/2}\right]_{x=y}^{x=y+2}\,\mathrm{d}y\\[4mm] =&\,\int_0^1\frac23\cdot2^{3/2}\,\mathrm{d}y\\[4mm] =&\,\boxed{\frac{4\sqrt2}{3}}. \end{align*}