題目

Problem

Assume a (real valued) function $y=f(x)$ satisfy $y^5+9y=x^3+x$ . Suppose $g(x)$ is a (real valued) function satisfying $f(g(x))=x$ .

(a) $(5\%)$ The value $g(1)$ must be $2$ . True or false? Answer: $\underline{\quad(1)\quad}$ .

(b) $(10\%)$ The derivative $g'(1)=\underline{\quad(2)\quad}$ .

解答

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因為 $f(g(1))=1$ ，令 $y=1$ 代入題給關係式，得到

1^5+9\cdot1=g(1)^3+g(1).

故 $g(1)$ 滿足 $x^3+x=10$ ；而 $x=2$ 正好滿足此式。又 $x^3+x$ 在實數上嚴格遞增，所以解唯一。因此 (a) 為 True。

對 $y^5+9y=x^3+x$ 兩邊對 $x$ 微分：

\begin{align*} (5y^4+9)\frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x} =&\,3x^2+1,\\[4mm] f'(x)=\frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x} =&\,\frac{3x^2+1}{5y^4+9}. \end{align*}

在 $x=2$ 時對應 $y=f(2)=1$ ，故

f'(2)=\frac{3\cdot2^2+1}{5\cdot1^4+9}=\frac{13}{14}.

由 $g=f^{-1}$ 的反函數導數公式，

g'(1)=\frac{1}{f'(g(1))}=\frac{1}{f'(2)}=\boxed{\frac{14}{13}}.