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105 台灣大學微積分(B) 第 16 題

考題 / 轉學考微積分 / 台灣大學 / 微積分B

105學年度 · 105台大微積分B · 第 16 題

題目

Problem

(P) Evaluate ∭Ωzex2+y2+3z2 dxdydz\iiint_\Omega ze^{x^2+y^2+3z^2}\,\mathrm{d}x\mathrm{d}y\mathrm{d}z, where Ω\Omega is the cylinder defined by Ω={(x,y,z):x2+y2≤1 and 0≤z≤1}\Omega=\{(x,y,z):x^2+y^2\le 1 \text{ and } 0\le z\le 1\}. Answer: (17)‾\underline{\quad(17)\quad}.

解答

解法一

思路

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  • 圓柱部分用極座標，並利用指數函數可分離成徑向與 zz 的兩個積分。

答題過程

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圓柱區域與被積函數可分離：

∭Ωzex2+y2+3z2 dV=(2π∫01rer2 dr)(∫01ze3z2 dz)=π6(e−1)(e3−1).\iiint_\Omega ze^{x^2+y^2+3z^2}\,\mathrm{d}V=\left(2\pi\int_0^1re^{r^2}\,\mathrm{d}r\right)\left(\int_0^1ze^{3z^2}\,\mathrm{d}z\right)=\boxed{\frac\pi6(e-1)(e^3-1)}.