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105 台灣大學微積分(B) 第 11 題

考題 / 轉學考微積分 / 台灣大學 / 微積分B

105學年度 · 105台大微積分B · 第 11 題

題目

Problem

(K) Find the critical points of f(x,y)=x2+y4+3xy2−5xf(x,y)=x^2+y^4+3xy^2-5x which are saddle points. Answer: (12)‾\underline{\quad(12)\quad}.

解答

解法一

思路

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  • 先聯立兩個一階偏導數找臨界點,再用 Hessian 判別鞍點。

答題過程

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fx=2x+3y2−5,fy=2y(2y2+3x).f_x=2x+3y^2-5,\qquad f_y=2y(2y^2+3x).

非零的 yy 給出 y2=3,x=−2y^2=3,x=-2。此時 fxx=2f_{xx}=2、fyy=24f_{yy}=24、fxy=6yf_{xy}=6y,Hessian 判別式 48−108<048-108<0。故鞍點為

(−2,3), (−2,−3).\boxed{(-2,\sqrt3),\ (-2,-\sqrt3)}.