題目

8. (8%)

\displaystyle\int_{-1}^0\left(\int_{\sqrt{-x}}^1 \cos(y^3)\,\mathrm{d}y\right)\mathrm{d}x=

**__**。

解答

展開

原區域為

-1\le x\le0,\qquad \sqrt{-x}\le y\le1.

由 $y\ge\sqrt{-x}$ 可得 $x\ge-y^2$ ，故交換積分次序後為

0\le y\le1,\qquad -y^2\le x\le0.

因此

\begin{align*} \int_{-1}^0\left(\int_{\sqrt{-x}}^1\cos(y^3)\,\mathrm{d}y\right)\mathrm{d}x =&\,\int_0^1\left(\int_{-y^2}^0\cos(y^3)\,\mathrm{d}x\right)\mathrm{d}y\\[4mm] =&\,\int_0^1y^2\cos(y^3)\,\mathrm{d}y\\[4mm] =&\,\frac13\sin(y^3)\Big|_0^1. \end{align*}

故原積分為 $\boxed{\frac13\sin1}$ 。