微積分福音

104 台灣大學微積分(C) 第 6 題

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104學年度 · 104台大微積分C · 第 6 題

題目

6. (8%)

f(x,y)=x^2y^2-4x^2-y^2

共有 **__** 個鞍點（saddle point）。

解答

解法一

思路

先令兩個一階偏導數同時為零，列出全部臨界點。
Hessian 判別式可直接判斷四個角點；其餘判別式為零的點，改用附近函數值在不同方向的正負變化來確認是鞍點。

答題過程

展開

f_x=2x(y^2-4),\qquad f_y=2y(x^2-1).

臨界點為

(0,0),\quad(\pm1,0),\quad(0,\pm2),\quad(\pm1,\pm2).

二階偏導數為

f_{xx}=2y^2-8,\qquad f_{yy}=2x^2-2,\qquad f_{xy}=4xy.

在 $(0,0)$ ，Hessian 判別式為 $16>0$ 且 $f_{xx}<0$ ，故為局部極大點。在 $(\pm1,\pm2)$ ，判別式為負，故四點都是鞍點。

其餘 $(\pm1,0)$ 與 $(0,\pm2)$ 的判別式為零；例如在 $(1,0)$ 的附近，取 $y=0$ 時函數值會因 $x$ 在 $1$ 的左右而分別大於、小於 $f(1,0)$ ，故是鞍點。其他三點同理。

因此鞍點總數為 $2+2+4=\boxed{8}$ 。