題目

4. (8%)

\displaystyle\int_{-1}^2 \frac{1}{x^3+x}\,\mathrm{d}x=

**__**。

題目勘誤

官方原題： $\displaystyle\int_{-1}^2\frac{1}{x^3+x}\,\mathrm{d}x$ 。

實際上應為：被積函數在 $x=0$ 有一階奇點；依通常瑕積分的定義，左右兩側分別發散，故此積分沒有有限值。只有另外指定柯西主值時，才會得到有限數值。

本頁保留官方原題，未替換原題條件。

解答

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\frac{1}{x^3+x}=\frac{1}{x}-\frac{x}{x^2+1}.

其不定積分為

\int\frac{1}{x^3+x}\,\mathrm{d}x =\ln|x|-\frac12\ln(x^2+1)+C.

故

\int_{-1}^0\frac{1}{x^3+x}\,\mathrm{d}x=-\infty, \qquad \int_0^2\frac{1}{x^3+x}\,\mathrm{d}x=+\infty.

所以通常的瑕積分 $\boxed{\text{發散}}$ 。若題目另行指定取柯西主值，才可得到 $\frac12\ln\frac85$ 。