題目 3. (8%) limx→0sinx−sin−1xtanx−tan−1x=\displaystyle\lim_{x\to 0}\frac{\sin x-\sin^{-1}x}{\tan x-\tan^{-1}x}=x→0limtanx−tan−1xsinx−sin−1x= **__**。 解答 解法一 思路 分子、分母都在 x=0x=0x=0 消失，且三次項正好足以決定比值。 用反三角函數與三角函數的麥克勞林展開，保留到 x3x^3x3 即可。 答題過程 展開 用麥克勞林展開： sinx−sin−1x=−x33+O(x5),tanx−tan−1x=2x33+O(x5).\sin x-\sin^{-1}x=-\frac{x^3}{3}+O(x^5), \qquad \tan x-\tan^{-1}x=\frac{2x^3}{3}+O(x^5).sinx−sin−1x=−3x3+O(x5),tanx−tan−1x=32x3+O(x5). 故極限為 −12\boxed{-\frac12}−21。
