微積分福音

104 台灣大學微積分(C) 第 1 題

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104學年度 · 104台大微積分C · 第 1 題

題目

Problem

(8%) $y=e^{-x^2}-2\cos x+1$ 在靠近 $x=0$ 時的圖形最接近底下那個圖形： $\underline{\qquad}$ 。

解答

解法一

思路

題目只問 $x=0$ 附近的形狀；先把兩個基本函數展成麥克勞林級數，找出第一個不會消掉的項。
首項若為正的四次項，圖形就在原點兩側都向上，且因為前三階導數皆為零，所以原點看起來特別平坦。

答題過程

展開

在 $x=0$ 附近，

\begin{align*} e^{-x^2}=&\,1-x^2+\frac{x^4}{2}+O(x^6),\\[4mm] -2\cos x=&\,-2+x^2-\frac{x^4}{12}+O(x^6). \end{align*}

因此

\begin{align*} y=&\,\left(1-x^2+\frac{x^4}{2}\right)-2+x^2-\frac{x^4}{12}+1+O(x^6)\\[4mm] =&\,\frac{5}{12}x^4+O(x^6). \end{align*}

所以曲線通過原點、關於 $y$ 軸對稱，並且原點是很平坦的局部極小點。四個選項中符合者為 $\boxed{\text{(A)}}$ 。