Problem

一、填充題

8. 已知三維向量場

$$\mathbf{F}=\left(\frac{2x}{x^2+y^2}\right)\mathbf{i}+\left(\frac{2y}{x^2+y^2}-2ze^{-2y}\right)\mathbf{j}+e^{-2y}\mathbf{k}$$

為保守場，則其所有可能的 potential function 為 $\underline{\quad(8a)\quad}$（4 分）。令參數曲線 $C:r(t)=t\,\mathbf{i}+\pi\cos t\,\mathbf{j}+\pi\sin t\,\mathbf{k}$，$0\le t\le \dfrac{\pi}{2}$，且 $\mathbf{T}$ 為 $C$ 上的單位切向量，則線積分

$$\int_C \mathbf{F}\cdot \mathbf{T}\,\mathrm{d}s=\int_C \mathbf{F}\cdot \mathrm{d}\mathbf{r}=\underline{\quad(8b)\quad}$$

（4 分）。