題目 Problem 一、填充題 令 DDD 為 2x+3y=02x+3y=02x+3y=0、2x+3y=22x+3y=22x+3y=2、3x+2y=33x+2y=33x+2y=3 與 3x+2y=−33x+2y=-33x+2y=−3 所圍成的平行四邊形及其內部，計算 ∬Dx dA=(6)‾\iint_D x\,\mathrm{d}A=\underline{\quad(6)\quad}∬DxdA=(6) （8 分）。 解答 解法一 思路 以四條邊界的線性式作變數代換，平行四邊形變成矩形。 答題過程 展開 令 u=2x+3y, v=3x+2yu=2x+3y,\ v=3x+2yu=2x+3y, v=3x+2y，則 0≤u≤20\le u\le20≤u≤2、−3≤v≤3-3\le v\le3−3≤v≤3，且 x=3v−2u5,∣∂(x,y)∂(u,v)∣=15.x=\frac{3v-2u}{5},\qquad \left|\frac{\partial(x,y)}{\partial(u,v)}\right|=\frac15.x=53v−2u,∂(u,v)∂(x,y)=51. 因此 ∬Dx dA=∫02∫−333v−2u25 dv du=−2425.\iint_Dx\,\mathrm{d}A=\int_0^2\int_{-3}^3\frac{3v-2u}{25}\,\mathrm{d}v\,\mathrm{d}u=\boxed{-\frac{24}{25}}.∬DxdA=∫02∫−33253v−2udvdu=−2524.
