題目 Problem 一、填充題 計算 ∫01(∫y21x1+x4 dx)dy=(5)‾\int_0^1\left(\int_{y^2}^1\frac{\sqrt{x}}{1+x^4}\,\mathrm{d}x\right)\mathrm{d}y=\underline{\quad(5)\quad}∫01(∫y211+x4xdx)dy=(5) （8 分）。 解答 解法一 思路 先交換積分次序，使內積分成為對 yyy 的常數函數。 答題過程 展開 區域可改寫為 0≤x≤1, 0≤y≤x0\le x\le1,\ 0\le y\le\sqrt{x}0≤x≤1, 0≤y≤x，所以 ∫01∫y21x1+x4 dx dy= ∫01∫0xx1+x4 dy dx= ∫01x1+x4 dx=12tan−1(x2)∣01.\begin{align*} \int_0^1\int_{y^2}^1\frac{\sqrt{x}}{1+x^4}\,\mathrm{d}x\,\mathrm{d}y =&\,\int_0^1\int_0^{\sqrt{x}}\frac{\sqrt{x}}{1+x^4}\,\mathrm{d}y\,\mathrm{d}x\\[4mm] =&\,\int_0^1\frac{x}{1+x^4}\,\mathrm{d}x=\frac12\tan^{-1}(x^2)\Big|_0^1. \end{align*}∫01∫y211+x4xdxdy==∫01∫0x1+x4xdydx∫011+x4xdx=21tan−1(x2)01. 答案為 π8\boxed{\frac{\pi}{8}}8π。
