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104 台灣大學微積分(B) 第 4 題

考題 / 轉學考微積分 / 台灣大學 / 微積分B

104學年度 · 104台大微積分B · 第 4 題

題目

Problem

一、填充題

  1. 令
T(x)=ln⁡(1+x1−x)T(x)=\ln\left(\frac{1+x}{1-x}\right)

在 x=0x=0 的 Taylor 展開式。則 T(x)=(4a)‾T(x)=\underline{\quad(4a)\quad}(必須寫出一般式)(4 分),T(x)T(x) 的收斂半徑為 (4b)‾\underline{\quad(4b)\quad}(4 分),利用 T(x)T(x) 的最前二個非零項估計 ln⁡3\ln 3 所得之近似值為 (4c)‾\underline{\quad(4c)\quad}(4 分)。

解答

解法一

思路

  • 將對數拆成兩個 ln⁡(1±x)\ln(1\pm x) 的級數;估計 ln⁡3\ln3 時取 x=1/2x=1/2。

答題過程

展開 T(x)=2(x+x33+x55+⋯ )=2∑n=0∞x2n+12n+1,∣x∣<1.T(x)=2\left(x+\frac{x^3}{3}+\frac{x^5}{5}+\cdots\right) =2\sum_{n=0}^\infty\frac{x^{2n+1}}{2n+1},\qquad |x|<1.

故收斂半徑為 1\boxed1。又 T(1/2)=ln⁡3T(1/2)=\ln3,以前兩個非零項估計:

ln⁡3≈2(12+(1/2)33)=1312.\ln3\approx2\left(\frac12+\frac{(1/2)^3}{3}\right)=\boxed{\frac{13}{12}}.