題目
Problem
一、填充題
- 令
T(x)=ln(1−x1+x)
在 x=0 的 Taylor 展開式。則 T(x)=(4a)(必須寫出一般式)(4 分),T(x) 的收斂半徑為 (4b)(4 分),利用 T(x) 的最前二個非零項估計 ln3 所得之近似值為 (4c)(4 分)。
解答
解法一
思路
- 將對數拆成兩個 ln(1±x) 的級數;估計 ln3 時取 x=1/2。
答題過程
展開
T(x)=2(x+3x3+5x5+⋯)=2n=0∑∞2n+1x2n+1,∣x∣<1.
故收斂半徑為 1。又 T(1/2)=ln3,以前兩個非零項估計:
ln3≈2(21+3(1/2)3)=1213.