題目
Problem
一、填充題
- 設 y=y(x) 為滿足 x4+xy2+y3+1=0 在 (x,y)=(−1,−1) 的鄰域(附近)所定義的可微分函數。則 y′(−1)=(3a)(4 分),而 y=y(x) 在 x=−1 的鄰域(附近)之行為(遞增或遞減、向上凹或向下凹)為 (3b)(請填入:「遞增」或「遞減」)(4 分),且 (3c)(請填入:「向上凹」或「向下凹」)(4 分)。
解答
解法一
思路
- 對隱函數方程式微分求 y′;再對一次導數式微分,藉 y′、y′′ 的正負判斷遞增與凹凸。
答題過程
展開
令 F(x,y)=x4+xy2+y3+1。在 (−1,−1),
Fx=4x3+y2=−3,Fy=2xy+3y2=1,
故 y′=−Fx/Fy=3。再由
Fxx+2Fxyy′+Fyy(y′)2+Fyy′′=0
得 12+2(−2)(3)+(−8)(3)2+y′′=0,所以 y′′=72>0。
因此 y′(−1)=3,曲線在該鄰域 遞增 且 向上凹。