Problem

二、計算證明題

2.（12 分）

(a) 令 $\beta>\alpha>0$。證明存在 $\theta_0=\theta_0(\alpha,\beta)$ 使得

$$\int_\alpha^\beta \frac{\cos\theta}{\theta^2}\,\mathrm{d}\theta=(\cos\theta_0)\left(\frac{1}{\alpha}-\frac{1}{\beta}\right).$$

(b) 利用上式證明 $\int_1^\infty \dfrac{\cos\theta}{\theta^2}\,\mathrm{d}\theta$ 收斂。

(c) 令 $M>1$。導出

$$\int_1^M \frac{\sin\theta}{\theta}\,\mathrm{d}\theta=\cos 1-\frac{\cos M}{M}-\int_1^M \frac{\cos\theta}{\theta^2}\,\mathrm{d}\theta。$$

(d) 證明 $\int_1^\infty \dfrac{\sin\theta}{\theta}\,\mathrm{d}\theta$ 與 $\int_0^\infty \dfrac{\sin\theta}{\theta}\,\mathrm{d}\theta$ 皆收斂。