題目

7. (15%) Use the transformation

x=u/v,\ y=v

to evaluate the double integral

\iint_R xy\,\mathrm{d}A,

where $R$ is the region in the first quadrant（象限）bounded by the lines $y=x$ , $y=3x$ , and the hyperbolas $xy=1$ , $xy=3$ .

解答

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由 $x=u/v$ 、 $y=v$ 可得

xy=u.

因此雙曲線 $xy=1$ 、 $xy=3$ 分別化為 $u=1$ 、 $u=3$ 。又第一象限內 $v>0$ ，兩條直線給出

\begin{align*} y=x &\quad\Longrightarrow\quad v=\frac{u}{v} \quad\Longrightarrow\quad u=v^2,\\[4mm] y=3x &\quad\Longrightarrow\quad v=\frac{3u}{v} \quad\Longrightarrow\quad u=\frac{v^2}{3}. \end{align*}

故變換後的區域為

1\le u\le3, \qquad \sqrt{\frac{u}{3}}\le v\le\sqrt{u}.

雅可比行列式為

\frac{\partial(x,y)}{\partial(u,v)} = \begin{vmatrix} \dfrac1v & -\dfrac{u}{v^2}\\[3mm] 0 & 1 \end{vmatrix} =\frac1v.

因此

\begin{align*} \iint_Rxy\,\mathrm{d}A =&\,\int_1^3\int_{\sqrt{u/3}}^{\sqrt{u}} u\cdot\frac1v\,\mathrm{d}v\,\mathrm{d}u\\[4mm] =&\,\int_1^3u\left[\ln v\right]_{\sqrt{u/3}}^{\sqrt{u}}\,\mathrm{d}u\\[4mm] =&\,\int_1^3\frac{u}{2}\ln3\,\mathrm{d}u\\[4mm] =&\,\boxed{2\ln3}. \end{align*}