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103 台灣大學微積分(C) 第 4 題

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103學年度 · 103台大微積分C · 第 4 題

題目

4. (15%) Find an equation for the line through the origin (原點) tangent to the graph of y=ln⁡xy=\ln x.

解答

解法一

思路

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  • 設切點為 (a,ln⁡a)(a,\ln a)，先寫出該點的切線。
  • 再把原點代入切線，便能決定切點的 aa 值。

答題過程

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設切點的橫座標為 a>0a>0。由

ddxln⁡x=1x,\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}\ln x=\frac1x,

切線斜率為 1/a1/a，故切線方程為

y−ln⁡a=1a(x−a).y-\ln a=\frac1a(x-a).

此直線通過原點，將 (0,0)(0,0) 代入：

−ln⁡a=−1.-\ln a=-1.

故 ln⁡a=1\ln a=1，即 a=ea=e。代回切線方程可得

y=xe−1.\boxed{y=\frac{x}{e}-1}.