題目

3. (15%) Evaluate the indefinite integral.

\int \frac{x\,\mathrm{d}x}{\sqrt{1+x^2+\sqrt{(1+x^2)^3}}}

解答

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令

u=\sqrt{1+x^2}.

由 $u^2=1+x^2$ 微分得 $u\,\mathrm{d}u=x\,\mathrm{d}x$ 。又 $u>0$ ，所以

\sqrt{1+x^2+\sqrt{(1+x^2)^3}} =\sqrt{u^2+u^3}=u\sqrt{1+u}.

原積分化為

\begin{align*} \int\frac{x\,\mathrm{d}x}{\sqrt{1+x^2+\sqrt{(1+x^2)^3}}} =&\,\int\frac{u\,\mathrm{d}u}{u\sqrt{1+u}}\\[4mm] =&\,\int(1+u)^{-1/2}\,\mathrm{d}u\\[4mm] =&\,2\sqrt{1+u}+C. \end{align*}

代回 $u=\sqrt{1+x^2}$ ，得到

\boxed{2\sqrt{1+\sqrt{1+x^2}}+C}.