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103 台灣大學微積分(C) 第 1 題

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103學年度 · 103台大微積分C · 第 1 題

題目

Problem

  1. (10%) Find the value of cc such that the limit exists and evaluate the limit.
lim⁡x→1(1x−1−cx3−1)\lim_{x\to 1}\left(\frac{1}{x-1}-\frac{c}{x^3-1}\right)

解答

解法一

思路

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  • x3−1x^3-1 含有因子 x−1x-1，先把兩項通分，觀察分子是否也能消去 x−1x-1。
  • 要使極限為有限值，分子在 x=1x=1 必須為 00；這會決定 cc。

答題過程

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利用 x3−1=(x−1)(x2+x+1)x^3-1=(x-1)(x^2+x+1)，原式為

1x−1−cx3−1= x2+x+1−c(x−1)(x2+x+1).\begin{align*} \frac{1}{x-1}-\frac{c}{x^3-1} =&\,\frac{x^2+x+1-c}{(x-1)(x^2+x+1)}. \end{align*}

分母在 x→1x\to1 時趨近於 00，故要有有限極限，分子也必須在 x=1x=1 為 00：

3−c=0,3-c=0,

所以 c=3c=3。此時

x2+x+1−3= x2+x−2= (x−1)(x+2).\begin{align*} x^2+x+1-3 =&\,x^2+x-2\\[4mm] =&\,(x-1)(x+2). \end{align*}

因此

lim⁡x→1(1x−1−3x3−1)= lim⁡x→1x+2x2+x+1= 1.\begin{align*} \lim_{x\to1}\left(\frac{1}{x-1}-\frac{3}{x^3-1}\right) =&\,\lim_{x\to1}\frac{x+2}{x^2+x+1}\\[4mm] =&\,1. \end{align*}

故 c=3\boxed{c=3}，且極限值為 1\boxed{1}。