微積分福音

103 台灣大學微積分(B) 第 12 題

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103學年度 · 103台大微積分B · 第 12 題

題目

Problem

（貳）計算證明題

令 $f(x)$ 為可微函數， $P$ 為不在 $y=f(x)$ 之圖形上的點。若 $Q$ 為 $y=f(x)$ 上最靠近 $P$ 的點，證明：線段 $PQ$ 垂直於 $y=f(x)$ 的圖形。

解答

解法一

答題過程

展開

設 $P=(p,q)$ ，而最近點為 $Q=(x,f(x))$ 。最小化平方距離

D(x)=(x-p)^2+[f(x)-q]^2

可避免根號。因 $Q$ 為內部最小點， $D'(x)=0$ ，即

(x-p)+[f(x)-q]f'(x)=0.

切向量為 $(1,f'(x))$ ，而 $\overrightarrow{PQ}=(x-p,f(x)-q)$ ；上式正是二者內積為 $0$ 。因此線段 $PQ$ 垂直於曲線的切線，也就是垂直於該圖形。