題目 Problem (H). Find the plane tangent to the surface x3+y+z2−xy3z4=8x^3+y+z^2-xy^3z^4=8x3+y+z2−xy3z4=8 at the point (2,1,1)(2,1,1)(2,1,1). Answer. (9)‾\underline{\quad(9)\quad}(9). 解答 解法一 思路 展開 將曲面寫成等位面 F(x,y,z)=8F(x,y,z)=8F(x,y,z)=8；梯度給出切平面的法向量。 答題過程 展開 令 F=x3+y+z2−xy3z4F=x^3+y+z^2-xy^3z^4F=x3+y+z2−xy3z4。在 (2,1,1)(2,1,1)(2,1,1)， Fx=11,Fy=−5,Fz=−6.F_x=11,\qquad F_y=-5,\qquad F_z=-6.Fx=11,Fy=−5,Fz=−6. 故切平面為 11(x−2)−5(y−1)−6(z−1)=0.\boxed{11(x-2)-5(y-1)-6(z-1)=0}.11(x−2)−5(y−1)−6(z−1)=0.
