CalcGospel 微積分福音
返回

102 台灣大學微積分(C) 第 5 題

考題 / 轉學考微積分 / 台灣大學 / 微積分C

102學年度 · 102台大微積分C · 第 5 題

題目

Problem

(E). Let g(x)g(x) be the inverse function of the strictly increasing function f(x)=x5+3x3+1f(x)=x^5+3x^3+1. Then ∫f(0)f(1)g(x) dx=(6)‾\displaystyle\int_{f(0)}^{f(1)} g(x)\,\mathrm{d}x=\underline{\quad(6)\quad}.

解答

解法一

思路

展開
  • 對反函數積分作代換 x=f(t)x=f(t)，積分範圍隨之回到 00 到 11。

答題過程

展開

令 x=f(t)x=f(t)，則 g(x)=tg(x)=t、dx=f′(t) dt\mathrm{d}x=f'(t)\,\mathrm{d}t：

∫f(0)f(1)g(x) dx= ∫01t(5t4+9t2) dt= [t5+94t3]01=134.\begin{align*} \int_{f(0)}^{f(1)}g(x)\,\mathrm{d}x =&\,\int_0^1t(5t^4+9t^2)\,\mathrm{d}t\\[4mm] =&\,\left[t^5+\frac94t^3\right]_0^1 =\boxed{\frac{13}{4}}. \end{align*}