題目

Problem

二、多選題

A region $A$ is bounded by the hyperbolas（雙曲線） $xy=1$ and $xy=2$ , and the curves $xy^2=3$ and $xy^2=4$ . The area of $A$ is denoted by $area_o$ . Use the change of variables $u=xy$ and $v=xy^2$ , the area of the image of the region $A$ in the coordinate space determined by $(u,v)$ under the transformation is called $area_t$ . 請問下列哪些選項是正確的？

(A) $area_o=\ln 4-\ln 3$

(B) $area_t=\int_1^2\int_3^4 \mathrm{d}u\mathrm{d}v$

(D) The Jacobian determinant $\dfrac{\partial(x,y)}{\partial(u,v)}$ is $v$ .

(E) $\dfrac{\partial(u,v)}{\partial(x,y)}=xy$ 。

解答

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題目指定 $u=xy,v=xy^2$ ，四條邊界會化成一個長方形。
算出 Jacobian 後，以反 Jacobian 把 $\mathrm{d}x\,\mathrm{d}y$ 轉為 $\mathrm{d}u\,\mathrm{d}v$ 。

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對 $u=xy,v=xy^2$ ，

\frac{\partial(u,v)}{\partial(x,y)} =\begin{vmatrix}y&x\\y^2&2xy\end{vmatrix} =xy^2=v.

因此 $\left|\frac{\partial(x,y)}{\partial(u,v)}\right|=1/v$ 。變換後區域為 $1\le u\le2,3\le v\le4$ ，所以 (B) 正確，且

area_o=\int_1^2\int_3^4\frac1v\,\mathrm{d}v\,\mathrm{d}u=\ln4-\ln3.

正確選項為 $\boxed{\text{(B)、(C)}}$ 。