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102 台灣大學微積分(B) 第 10 題

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102學年度 · 102台大微積分B · 第 10 題

題目

Problem

一、單選題

  1. 當
lim⁡x→∞∫ax2+bx+c∞tke−t2 dtxe−x2=3\lim_{x\to \infty}\frac{\int_{ax^2+bx+c}^{\infty} t^k e^{-t^2}\,\mathrm{d}t}{x e^{-x^2}}=3

。

請問下列哪個選項是正確的？

(A) k=3k=3

(B) k=1k=1

(C) a=1/6a=1/6

(D) a<ba<b

(E) c=3c=3。

題目勘誤

官方原題：要求所給尾積分與 xe−x2xe^{-x^2} 的比值極限等於 33。

實際上應為：逐一比較正、負無窮下限的 Gaussian 尾積分後，均不可能得到 33；其中正無窮分支的首項係數必為 1/21/2。原題條件互相矛盾，無從選出任何選項。

本頁保留官方原題，未替換原題條件。

解答

解法一

思路

展開
  • 先比較指數衰減速度，判斷下限 L=ax2+bx+cL=ax^2+bx+c 必須如何接近 xx。
  • 再以尾積分的分部積分首項比較冪次與常數，檢驗題設的 33 是否可能。

答題過程

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設 L=ax2+bx+cL=ax^2+bx+c。當 L→∞L\to\infty 時，對尾積分分部積分可得首項

∫L∞tke−t2 dt∼12Lk−1e−L2.\int_L^\infty t^ke^{-t^2}\,\mathrm{d}t \sim\frac12L^{k-1}e^{-L^2}.

先考慮 L→+∞L\to+\infty。要使和 xe−x2xe^{-x^2} 的比值為有限非零數，指數部分必須滿足 L2−x2→0L^2-x^2\to0，因而

a=0,b=1,c=0.a=0,\qquad b=1,\qquad c=0.

此時比值的首項為

12xk−1e−x2xe−x2=12xk−2.\frac{\frac12x^{k-1}e^{-x^2}}{xe^{-x^2}} =\frac12x^{k-2}.

要有常數極限只能取 k=2k=2，但極限是 12\frac12，不是 33。

另一個可能是 L→−∞L\to-\infty。若 kk 為偶數，積分趨向一個正的全 Gaussian 積分，除以 xe−x2xe^{-x^2} 後發散；若 k=2m+1k=2m+1 為奇數，正負對稱抵消後的尾項量級為 ∣L∣2me−L2|L|^{2m}e^{-L^2}。即使要令 L2−x2→0L^2-x^2\to0，所得比值也只會在 m=0m=0 時趨於 00，或在 m≥1m\ge1 時發散，仍不可能是 33。

所以原題沒有任何參數組合滿足條件；特別地，不能因為矛盾前提而把 (D) 當作答案。