題目

\displaystyle \lim_{n\to\infty}\left(\frac{n}{1+n^2}+\frac{n}{4+n^2}+\cdots+\frac{n}{i^2+n^2}+\cdots+\frac{n}{n^2+n^2}\right)=?

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解答

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原和式可改寫為

\sum_{i=1}^n\frac{n}{i^2+n^2} =\frac1n\sum_{i=1}^n\frac1{1+(i/n)^2}.

這正是函數 $f(x)=\frac1{1+x^2}$ 在 $[0,1]$ 的右端點黎曼和。因此

\boxed{\lim_{n\to\infty}\frac1n\sum_{i=1}^n\frac1{1+(i/n)^2} =\int_0^1\frac1{1+x^2}\,\mathrm{d}x=\frac\pi4}.