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101 台灣大學微積分(B) 第 7 題

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101學年度 · 101台大微積分B · 第 7 題

題目

Problem

（貳）計算題：必須有計算過程，才予以計分。共 4 題，每題 10 分，計 40 分。

(7) 求極限

lim⁡x→0tan⁡x−tan⁡−1x−23x3ex2sin⁡x−x−56x3\lim_{x\to 0}\frac{\tan x-\tan^{-1}x-\frac{2}{3}x^3}{e^{x^2}\sin x-x-\frac{5}{6}x^3}

之值。

解答

解法一

思路

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  • 分子、分母都刻意消去低次項；直接代入或只做一次羅必達都看不出答案。
  • 將各函數展開到第一個沒有消掉的 x5x^5 項，再比較係數。

答題過程

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在 x=0x=0 附近，

tan⁡x=x+x33+2x515+更高次項,tan⁡−1x=x−x33+x55+更高次項.\tan x=x+\frac{x^3}{3}+\frac{2x^5}{15}+\text{更高次項}, \qquad \tan^{-1}x=x-\frac{x^3}{3}+\frac{x^5}{5}+\text{更高次項}.

所以分子為

tan⁡x−tan⁡−1x−23x3=−115x5+更高次項.\tan x-\tan^{-1}x-\frac23x^3 =-\frac1{15}x^5+\text{更高次項}.

另一方面，

ex2=1+x2+x42+更高次項,sin⁡x=x−x36+x5120+更高次項.e^{x^2}=1+x^2+\frac{x^4}{2}+\text{更高次項}, \qquad \sin x=x-\frac{x^3}{6}+\frac{x^5}{120}+\text{更高次項}.

相乘後

ex2sin⁡x=x+56x3+41120x5+更高次項.e^{x^2}\sin x=x+\frac56x^3+\frac{41}{120}x^5+\text{更高次項}.

因此所求極限為

−1/1541/120=−841.\boxed{\frac{-1/15}{41/120}=-\frac8{41}}.