題目

Problem

(2) 令 $n$ 為任意正整數。當 $a=\underline{\quad(2a)\quad}$ 時，曲線 $y=ax^n$ 與 $y=\ln x$ 相切，且此時切點為 $\underline{\quad(2b)\quad}$ 。

解答

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設切點橫座標為 $x>0$ 。相切時

ax^n=\ln x,\qquad an x^{n-1}=\frac1x.

第二式乘上 $x$ 得 $anx^n=1$ ，配合第一式可得

n\ln x=1,\qquad x=e^{1/n}.

再回代得

\boxed{(2a)=\frac1{ne},\qquad(2b)=\left(e^{1/n},\frac1n\right)}.