題目

Problem

(10) (a) 若向量場 $\mathbf{F}=Ax\ln z\,\mathbf{i}+By^2z\,\mathbf{j}+\left(\frac{x^2}{z}+y^3\right)\mathbf{k}$ 為保守場（conservative），則實數 $A,B$ 分別為何？

(b) 令 $C$ 為由 $(1,1,1)$ 到 $(2,2,1)$ 的線段，試求線積分

\int_C 2x\ln z\,dx+2y^2z\,dy+\left(\frac{x^2}{z}+y^3\right)\,dz

之值。

解答

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令

\mathbf F=(P,Q,R)=\left(Ax\ln z,\;By^2z,\;\frac{x^2}{z}+y^3\right).

保守場必須滿足 $P_z=R_x$ 與 $Q_z=R_y$ 。因此

\frac{Ax}{z}=\frac{2x}{z},\qquad By^2=3y^2,

故

\boxed{A=2,\qquad B=3}.

此時由 $\phi_x=2x\ln z$ 積分，可取勢函數

\phi(x,y,z)=x^2\ln z+y^3z.

所以

\begin{align*} \int_C\mathbf F\cdot\mathrm{d}\mathbf r =&\,\phi(2,2,1)-\phi(1,1,1)\\[4mm] =&\,8-1 =\boxed7. \end{align*}