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99 台灣大學微積分(C) 第 4 題

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99學年度 · 99台大微積分C · 第 4 題

題目

4. Let f(x,y)=x2+4xy+y2f(x,y)=x^2+4xy+y^2. We call the region {(x,y)∣x2+y2<1}\{(x,y)\mid x^2+y^2<1\} open disk D1D_1, {(x,y)∣x2+y2≤1}\{(x,y)\mid x^2+y^2\le 1\} the closed disk D2D_2, and {(x,y)∣x2+y2=1}\{(x,y)\mid x^2+y^2=1\} the circle CC.

i) (10%)(10\%) On the open disk D1D_1 find, if there is any, those points on which f(x,y)f(x,y) is a relative minimum, relative maximum or a saddle point.

ii) (10%)(10\%) On the circle CC compute the absolute maximum value and absolute minimum value of f(x,y)f(x,y).

iii) (10%)(10\%) On the closed disk D2D_2 give your reasons to find the absolute maximum value and absolute minimum value of f(x,y)f(x,y).

解答

解法一

思路

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  • 先用 Hessian 判別開圓盤的唯一臨界點;圓周上改用 x2+y2=1x^2+y^2=1,再與內部比較閉圓盤的全域極值。

答題過程

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梯度為 (2x+4y,4x+2y)(2x+4y,4x+2y),唯一臨界點是 (0,0)(0,0)。Hessian 行列式 4−16=−12<04-16=-12<0,故

(0,0) 是鞍點.\boxed{(0,0)\text{ 是鞍點}}.

圓周 CC 上,

f=x2+y2+4xy=1+4xy.f=x^2+y^2+4xy=1+4xy.

由 −1/2≤xy≤1/2-1/2\le xy\le1/2,圓周最大、最小值為

3(於 x=y=±1/2),−1(於 x=−y=±1/2).\boxed{3\text{(於 }x=y=\pm1/\sqrt2\text{)}},\qquad \boxed{-1\text{(於 }x=-y=\pm1/\sqrt2\text{)}}.

因 ff 是二次齊次函數,沿每條由原點出發的射線只會乘上非負的平方因子;故閉圓盤的絕對最大、最小值仍分別是 3\boxed3、−1\boxed{-1}。