微積分福音

99 台灣大學微積分(B) 第 5 題

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99學年度 · 99台大微積分B · 第 5 題

題目

5. 設

K=\{(x,y,z)\mid z\ge x^2+y^2,\ z\le 4\}.

若在 $K$ 上的點 $(x,y,z)$ ，其密度函數 $\rho(x,y,z)=24z$ ，則 $K$ 的質量中心為 $\underline{\quad(5)\quad}$ 。

解答

解法一

思路

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區域與密度都對 $x$ 軸、 $y$ 軸旋轉對稱，所以 $\bar x=\bar y=0$ 。
用柱坐標計算總質量與 $z$ 方向的一次矩，再求 $\bar z$ 。

答題過程

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令 $x=r\cos\theta,y=r\sin\theta$ 。區域可寫成

0\le\theta\le2\pi,\qquad 0\le r\le2,\qquad r^2\le z\le4.

總質量為

\begin{align*} M =&\,\int_0^{2\pi}\int_0^2\int_{r^2}^4 24z\,r\,\mathrm{d}z\,\mathrm{d}r\,\mathrm{d}\theta\\[4mm] =&\,512\pi. \end{align*}

而關於 $xy$ 平面的矩為

\begin{align*} M_{xy} =&\,\int_0^{2\pi}\int_0^2\int_{r^2}^4 24z^2\,r\,\mathrm{d}z\,\mathrm{d}r\,\mathrm{d}\theta\\[4mm] =&\,1536\pi. \end{align*}

故 $\bar z=M_{xy}/M=3$ ，質量中心為 $\boxed{(0,0,3)}$ 。