題目

Problem

IV. $(15\%)$ Find all absolutely extreme values of the function

f(x,y)=x^2+3y^2+y

subject to the constraint

x^2+y^2\le 1.

解答

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f_x=2x,\qquad f_y=6y+1.

內部臨界點為 $(0,-1/6)$ ，函數值為 $-1/12$ 。在邊界 $x^2+y^2=1$ 上，

f=1+2y^2+y,\qquad -1\le y\le1.

此二次式開口向上，端點值分別為 $2,4$ ；其最小值 $-1/8$ 大於內部的 $-1/12$ 。故

\boxed{\text{最小值 }-\frac1{12}\text{ 於 }(0,-\frac16)，\quad \text{最大值 }4\text{ 於 }(0,1)。}