題目

Problem

I. Suppose that $f(x)$ is a function satisfying

e^x\le f(x)\le e^x+x^2,\quad |x|<1.

Find

(a) $f(0)$ . $(5\%)$

(b) $f'(0)$ . $(10\%)$

解答

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令 $x=0$ ，不等式給出 $1\le f(0)\le1$ ，故 $f(0)=1$ 。

又因 $e^x\le f(x)\le e^x+x^2$ ，把 $1=f(0)$ 移到各邊，並依 $x$ 的正負處理除法，可知差商被

\frac{e^x-1}{x}\quad\text{與}\quad \frac{e^x-1}{x}+x

夾住（次序隨 $x$ 正負交換）。兩者在 $x\to0$ 都趨於 $1$ ，所以

\boxed{f(0)=1,\qquad f'(0)=1}.