題目 Problem (7) 若 f(x,y)=ex2+yf(x,y)=e^{x^2+y}f(x,y)=ex2+y，則 ∂100∂x50∂y50f(0,0)=(7a)‾，\frac{\partial^{100}}{\partial x^{50}\partial y^{50}}f(0,0)=\underline{\quad(7a)\quad}，∂x50∂y50∂100f(0,0)=(7a)， 且 ∂100∂x49∂y51f(0,0)=(7b)‾。\frac{\partial^{100}}{\partial x^{49}\partial y^{51}}f(0,0)=\underline{\quad(7b)\quad}。∂x49∂y51∂100f(0,0)=(7b)。 解答 解法一 答題過程 展開 ex2+y=(∑m≥0x2mm!)(∑n≥0ynn!).e^{x^2+y}=\left(\sum_{m\ge0}\frac{x^{2m}}{m!}\right)\left(\sum_{n\ge0}\frac{y^n}{n!}\right).ex2+y=(m≥0∑m!x2m)(n≥0∑n!yn). x50y50x^{50}y^{50}x50y50 的係數為 1/(25!50!)1/(25!50!)1/(25!50!)，而 x49x^{49}x49 項不存在。因此答案是 (5025)\boxed{\binom{50}{25}}(2550)、0\boxed{0}0。
