題目
Problem
(6) 極座標平面上,兩曲線 r2=2cosθ 及 r=2+2cosθ 有三個交點,它們是原點及 (r,θ)=(6a) 或 (6b)。
題目勘誤
官方原題:宣稱 r2=2cosθ 與 r=2+2cosθ 有三個交點。
實際上應為:兩式聯立會導出 2cos2θ+3cosθ+2=0,其判別式為 −7,沒有非原點的實解;依原式兩曲線只在原點相交,故無法填寫兩個非原點交點。
本頁保留官方原題,未替換原題條件。
解答
解法一
思路
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- 先代入兩式檢查交點;這會直接顯示官方題幹的交點數與方程不相容。
答題過程
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除原點外,第二式給 r=2(1+cosθ)。代入 r2=2cosθ,令 c=cosθ:
4(1+c)2=2c⟺2c2+3c+2=0.
其判別式為 32−4⋅2⋅2=−7<0,故沒有實數 c。因此原式只有原點這個交點,題目所要求的兩個非原點交點不存在。